常見量子閘 - kanes

在量子比特實驗中，門操作是量子計算的基礎，類似於經典計算中的邏輯門，但操作的是量子比特的疊加態和糾纏態。量子門用酉矩陣表示，其特點是可逆性，即可以從輸出狀態推導出輸入狀態。

常見的量子門操作可以分為兩大類：單量子比特門和多量子比特門。

一、單量子比特門 (Single-Qubit Gates)#

這些門操作單個量子比特，相當於在布洛赫球（Bloch Sphere）上對量子比特的狀態向量進行旋轉。布洛赫球是一個單位球體，其表面上的點代表了所有可能的單量子比特純態。$|0\rangle$ 态通常位於北極，而 $|1\rangle$ 态位於南極。

Hadamard (H) 門
- 作用： 將基態（如 $|0\rangle$ 或 $|1\rangle$）轉換為等概率的疊加態。
  - $H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$
  - $H|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)$
- 矩陣表示：
  
  $H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
- 布洛赫球上的作用： 將 Z 軸上的狀態（$|0\rangle$ 或 $|1\rangle$）旋轉到 X 軸上，或者將 X 軸上的狀態旋轉到 Z 軸上。它相當於繞著 X 軸和 Z 軸的平均軸（即 X-Z 平面上的一個特定軸）旋轉 $\pi$ 弧度。
- 重要性： H 門是創建量子疊加態的關鍵門，是量子算法（如 Grover 搜索算法和 Shor 分解算法）的起點，因為它能使量子比特同時探索多種可能性。
Pauli-X (X) 門 / NOT 門
- 作用： 翻轉量子比特的基態，類似於經典計算機中的 NOT 門。
  - $X|0\rangle = |1\rangle$
  - $X|1\rangle = |0\rangle$
- 矩陣表示：
  
  $X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
- 布洛赫球上的作用： 繞 X 軸旋轉 $\pi$ 弧度。
- 重要性： 用於改變量子比特的計算基態。
Pauli-Y (Y) 門
- 作用： 翻轉量子比特的基態，並引入一個全局相位因子 $i$ 或 $-i$。
  - $Y|0\rangle = i|1\rangle$
  - $Y|1\rangle = -i|0\rangle$
- 矩陣表示：
  $Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$
- 布洛赫球上的作用： 繞 Y 軸旋轉 $\pi$ 弧度。
- 重要性： 儘管引入了相位，但在測量時概率不變，它主要在某些需要特定相位旋轉的量子算法中發揮作用。
Pauli-Z (Z) 門
- 作用： 在不改變基態測量概率的情況下，給 $|1\rangle$ 态引入一個 $\pi$ 相位。
  - $Z|0\rangle = |0\rangle$
  - $Z|1\rangle = -|1\rangle$
- 矩陣表示：
  
  $Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
- 布洛赫球上的作用： 繞 Z 軸旋轉 $\pi$ 弧度。
- 重要性： Z 門改變了量子比特的相對相位，這對於構建糾纏態和執行干涉操作至關重要。
T 門 (Phase Shift Gate P ($\pi/4$))
- 作用： 給 $|1\rangle$ 态引入一個 $\pi/4$ 的相位。
  - $T|0\rangle = |0\rangle$
  - $T|1\rangle = e^{i\pi/4}|1\rangle$
- 矩陣表示：
  
  $T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\pi/4} \end{pmatrix}$
- 布洛赫球上的作用： 繞 Z 軸旋轉 $\pi/4$ 弧度。
- 重要性： T 門（以及更一般的相位門）是實現 “非 Clifford” 操作的關鍵，它使得量子計算機能夠執行任意複雜的酉變換。
S 門 (Phase Shift Gate P ($\pi/2$))
- 作用： 給 $|1\rangle$ 态引入一個 $\pi/2$ 的相位。
  - $S|0\rangle = |0\rangle$
  - $S|1\rangle = i|1\rangle$
- 矩陣表示：
  
  $S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}$
- 布洛赫球上的作用： 繞 Z 軸旋轉 $\pi/2$ 弧度。
- 重要性： S 門是 T 門的平方（$S = T^2$），也是非 Clifford 門，用於實現更精細的相位控制。
Rx, Ry, Rz 門 (Rotation Gates)
- 作用： 這些是通用的旋轉門，可以圍繞布洛赫球的 X、Y 或 Z 軸進行任意角度 $\theta$ 的旋轉。
  - $R_x(\theta)$： 繞 X 軸旋轉 $\theta$ 弧度。
    
    $R_x(\theta) = \begin{pmatrix} \cos(\theta/2) & -i\sin(\theta/2) \\ -i\sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{pmatrix}$
  - $R_y(\theta)$： 繞 Y 軸旋轉 $\theta$ 弧度。
    
    $R_y(\theta) = \begin{pmatrix} \cos(\theta/2) & -\sin(\theta/2) \\ \sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{pmatrix}$
  - $R_z(\theta)$： 繞 Z 軸旋轉 $\theta$ 弧度。
    
    $R_z(\theta) = \begin{pmatrix} e^{-i\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{i\theta/2} \end{pmatrix}$
- 重要性： 都提供對量子比特狀態的精細控制，可以實現任何單量子比特的酉變換。所有單量子比特門都可以通過這些旋轉門的組合來近似或精確表示。
U1, U2, U3 門 (Universal Single-Qubit Gates)
- 作用： 一組更通用的單量子比特門，可以通過三個歐拉角來參數化表示任何單量子比特酉變換。U3 是最通用的，U1 和 U2 是它的簡化形式。
- 重要性： 理論上可以生成任何單量子比特操作的數學表示。

二、多量子比特門 (Multi-Qubit Gates)#

這些門操作兩個或多個量子比特，是實現量子糾纏和複雜量子算法的核心。

CNOT (Controlled-NOT / CX) 門
- 作用： 具有一個控制比特和一個目標比特。當且僅當控制比特處於 $|1\rangle$ 态時，目標比特才執行 NOT 操作（即翻轉）。
  - $|00\rangle \to |00\rangle$
  - $|01\rangle \to |01\rangle$
  - $|10\rangle \to |11\rangle$
  - $|11\rangle \to |10\rangle$
- 矩陣表示：
  
  $CNOT = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
  
  （假設量子比特排列順序為 $|q_1 q_0\rangle$，其中 $q_1$ 為控制比特， $q_0$ 為目標比特）
- 重要性： CNOT 門是量子計算中最重要的雙比特門之一，因為其能夠產生量子糾纏。糾纏是許多量子算法（如量子隱形傳態和量子密鑰分發）的基礎。
CZ (Controlled-Z) 門
- 作用： 具有一個控制比特和一個目標比特。當且僅當兩個量子比特都處於 $|1\rangle$ 态時，目標比特才引入一個 $\pi$ 相位（Z 操作）。
  - $|00\rangle \to |00\rangle$
  - $|01\rangle \to |01\rangle$
  - $10\rangle \to |10\rangle$
  - $|11\rangle \to -|11\rangle$
- 矩陣表示：
  
  $CZ = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
- 重要性： CZ 門也能產生糾纏，並且在某些物理實現中可能比 CNOT 門更容易實現。CNOT 門和 CZ 門可以通過單比特門的組合相互轉換。
SWAP 門
- 作用： 交換兩個量子比特的狀態。
  - $|00\rangle \to |00\rangle$
  - $|01\rangle \to |10\rangle$
  - $|10\rangle \to |01\rangle$
  - $|11\rangle \to |11\rangle$
- 矩陣表示：
  
  $SWAP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
- 重要性： 在物理硬件中，由於量子比特之間通常只有鄰近連接才能直接進行操作，SWAP 門在將相隔較遠的量子比特 “移動” 到可以相互作用的位置時非常有用。其可以通過三個 CNOT 門的序列來實現。
Toffoli (CCNOT / CCX) 門
- 作用： 一個三量子比特門，有兩個控制比特和一個目標比特。只有當兩個控制比特都處於 $|1\rangle$ 态時，才對目標比特執行 NOT 操作。
- 重要性： Toffoli 門是經典的通用邏輯門，可以構建任何經典的布爾函數。在量子計算中，Toffoli 門與 Hadamard 門一起構成一個通用的量子門集，可以用來近似實現任何量子算法。

三、通用量子門集 (Universal Quantum Gate Sets)#

與經典計算類似，存在一些 “通用” 的量子門集，這意味著任何複雜的量子算法都可以通過這些基本門的有限序列來近似實現。常見的通用量子門集包括：

{H, CNOT, Rz($\theta$)}：Hadamard 門、受控非門和任意 Z 軸旋轉門。
{H, CNOT, T}：Hadamard 門、受控非門和 T 門。T 門是 $R_z (\pi/4)$ 的一種特殊形式。
{Toffoli, Hadamard}：Toffoli 門和 Hadamard 門。

四、門的物理實現#

在實際的量子計算實驗中，門操作是通過精確控制量子比特的物理特性來實現，例如：

離子阱系統：通過激光脈衝精確操縱被電磁場囚禁的離子的電子能級來實現量子門。
超導量子比特：通過微波脈衝操縱超導電路中量子比特的能量狀態。
光子系統：通過操縱光子的偏振、頻率或路徑等特性來實現量子門。

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