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一般的な量子ゲート

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この記事はAIを通じて中国語から日本語に翻訳されました。原文を表示
AI が生成した要約
量子比特实验中的门操作是量子计算的基础，分为单量子比特门和多量子比特门。 ### 单量子比特门 - **Hadamard (H) 门**：将基态转换为叠加态，关键于量子算法。 - **Pauli-X (X) 门**：翻转量子比特基态，类似经典计算中的NOT门。 - **Pauli-Y (Y) 门**：翻转基态并引入相位因子。 - **Pauli-Z (Z) 门**：在不改变测量概率的情况下引入相位。 - **T 门**：引入 $\pi/4$ 相位，关键于非Clifford操作。 - **S 门**：引入 $\pi/2$ 相位，T门的平方。 - **旋转门 (Rx, Ry, Rz)**：围绕布洛赫球的任意轴旋转。 - **U1, U2, U3 门**：通用单量子比特门，通过欧拉角参数化。 ### 多量子比特门 - **CNOT (CX) 门**：控制比特翻转目标比特，产生量子纠缠。 - **CZ 门**：控制比特引入相位，产生纠缠。 - **SWAP 门**：交换两个量子比特的状态，便于量子比特间的操作。 - **Toffoli (CCNOT) 门**：三量子比特门，两个控制比特和一个目标比特。

量子ビット実験において、ゲート操作は量子計算の基礎であり、古典計算の論理ゲートに似ていますが、量子ビットの重ね合わせ状態とエンタングル状態を操作します。量子ゲートはユニタリ行列で表され、その特徴は可逆性であり、出力状態から入力状態を導き出すことができます。

一般的な量子ゲート操作は、単量子ビットゲートと多量子ビットゲートの 2 つの大きなカテゴリに分けられます。

一、単量子ビットゲート (Single-Qubit Gates)#

これらのゲートは単一の量子ビットを操作し、ブロッホ球（Bloch Sphere）上で量子ビットの状態ベクトルを回転させることに相当します。ブロッホ球は単位球体であり、その表面上の点はすべての可能な単量子ビットの純粋状態を表します。$|0\rangle$ 状態は通常北極に位置し、$|1\rangle$ 状態は南極に位置します。

  1. ハダマード (H) ゲート

    • 作用： 基底状態（$|0\rangle$ または $|1\rangle$）を等確率の重ね合わせ状態に変換します。

      • $H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$
      • $H|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)$

    • 行列表示：

      H=12(111−1)H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

    • ブロッホ球上の作用： Z 軸上の状態（$|0\rangle$ または $|1\rangle$）を X 軸に回転させるか、X 軸上の状態を Z 軸に回転させます。これは X 軸と Z 軸の平均軸（すなわち X-Z 平面上の特定の軸）を中心に $\pi$ ラジアン回転することに相当します。

    • 重要性： H ゲートは量子重ね合わせ状態を作成するための重要なゲートであり、量子アルゴリズム（例えば、グローバーの探索アルゴリズムやショアの因数分解アルゴリズム）の出発点です。なぜなら、量子ビットが同時に多くの可能性を探索できるからです。

  2. パウリ - X (X) ゲート / NOT ゲート

    • 作用： 量子ビットの基底状態を反転させ、古典コンピュータの NOT ゲートに似ています。

      • $X|0\rangle = |1\rangle$
      • $X|1\rangle = |0\rangle$

    • 行列表示：

      X=(0110)X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

    • ブロッホ球上の作用： X 軸を中心に $\pi$ ラジアン回転します。

    • 重要性： 量子ビットの計算基底状態を変更するために使用されます。

  3. パウリ - Y (Y) ゲート

    • 作用： 量子ビットの基底状態を反転させ、全体の位相因子 $i$ または $-i$ を導入します。
      • $Y|0\rangle = i|1\rangle$
      • $Y|1\rangle = -i|0\rangle$
    • 行列表示：
      Y=(0−ii0)Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}
    • ブロッホ球上の作用： Y 軸を中心に $\pi$ ラジアン回転します。
    • 重要性： 位相を導入しますが、測定時の確率は変わらず、特定の位相回転を必要とする量子アルゴリズムで主に機能します。

  4. パウリ - Z (Z) ゲート

    • 作用： 基底状態の測定確率を変えずに、$|1\rangle$ 状態に $\pi$ の位相を導入します。

      • $Z|0\rangle = |0\rangle$
      • $Z|1\rangle = -|1\rangle$

    • 行列表示：

      Z=(100−1)Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

    • ブロッホ球上の作用： Z 軸を中心に $\pi$ ラジアン回転します。

    • 重要性： Z ゲートは量子ビットの相対位相を変化させ、エンタングル状態を構築し、干渉操作を実行するために重要です。

  5. T ゲート (位相シフトゲート P ($\pi/4$))

    • 作用： $|1\rangle$ 状態に $\pi/4$ の位相を導入します。

      • $T|0\rangle = |0\rangle$
      • $T|1\rangle = e^{i\pi/4}|1\rangle$

    • 行列表示：

      T=(100eiπ/4)T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\pi/4} \end{pmatrix}

    • ブロッホ球上の作用： Z 軸を中心に $\pi/4$ ラジアン回転します。

    • 重要性： T ゲート（およびより一般的な位相ゲート）は「非クリフォード」操作を実現するための鍵であり、量子コンピュータが任意の複雑なユニタリ変換を実行できるようにします。

  6. S ゲート (位相シフトゲート P ($\pi/2$))

    • 作用： $|1\rangle$ 状態に $\pi/2$ の位相を導入します。

      • $S|0\rangle = |0\rangle$
      • $S|1\rangle = i|1\rangle$

    • 行列表示：

      S=(100i)S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}

    • ブロッホ球上の作用： Z 軸を中心に $\pi/2$ ラジアン回転します。

    • 重要性： S ゲートは T ゲートの平方（$S = T^2$）であり、非クリフォードゲートとして、より精密な位相制御を実現するために使用されます。

  7. Rx, Ry, Rz ゲート (回転ゲート)

    • 作用： これらは汎用の回転ゲートであり、ブロッホ球の X、Y、または Z 軸の周りで任意の角度 $\theta$ の回転を行います。

      • $R_x(\theta)$： X 軸を中心に $\theta$ ラジアン回転します。

        Rx(θ)=(cos⁡(θ/2)−isin⁡(θ/2)−isin⁡(θ/2)cos⁡(θ/2))R_x(\theta) = \begin{pmatrix} \cos(\theta/2) & -i\sin(\theta/2) \\ -i\sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{pmatrix}

      • $R_y(\theta)$： Y 軸を中心に $\theta$ ラジアン回転します。

        Ry(θ)=(cos⁡(θ/2)−sin⁡(θ/2)sin⁡(θ/2)cos⁡(θ/2))R_y(\theta) = \begin{pmatrix} \cos(\theta/2) & -\sin(\theta/2) \\ \sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{pmatrix}

      • $R_z(\theta)$： Z 軸を中心に $\theta$ ラジアン回転します。

        Rz(θ)=(e−iθ/200eiθ/2)R_z(\theta) = \begin{pmatrix} e^{-i\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{i\theta/2} \end{pmatrix}

    • 重要性： すべての単量子ビットゲートは、これらの回転ゲートの組み合わせによって近似または正確に表現できます。

  8. U1, U2, U3 ゲート (汎用単量子ビットゲート)

    • 作用： 3 つのオイラー角を用いて任意の単量子ビットのユニタリ変換をパラメータ化できる、より汎用的な単量子ビットゲートのセットです。U3 が最も汎用的で、U1 と U2 はその簡略化された形式です。
    • 重要性： 理論的には、任意の単量子ビット操作の数学的表現を生成できます。

二、多量子ビットゲート (Multi-Qubit Gates)#

これらのゲートは 2 つ以上の量子ビットを操作し、量子エンタングルメントと複雑な量子アルゴリズムを実現するための核心です。

  1. CNOT (制御 NOT / CX) ゲート

    • 作用： 1 つの制御ビットと 1 つのターゲットビットを持ちます。制御ビットが $|1\rangle$ 状態のときのみ、ターゲットビットが NOT 操作（すなわち反転）を実行します。

      • $|00\rangle \to |00\rangle$
      • $|01\rangle \to |01\rangle$
      • $|10\rangle \to |11\rangle$
      • $|11\rangle \to |10\rangle$

    • 行列表示：

      CNOT=(1000010000010010)CNOT = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

      （量子ビットの並び順を $|q_1 q_0\rangle$ と仮定し、$q_1$ が制御ビット、 $q_0$ がターゲットビットです）

    • 重要性： CNOT ゲートは量子計算において最も重要な二量子ビットゲートの 1 つであり、量子エンタングルメントを生成することができます。エンタングルメントは多くの量子アルゴリズム（例えば、量子テレポーテーションや量子鍵配送）の基礎です。

  2. CZ (制御 Z) ゲート

    • 作用： 1 つの制御ビットと 1 つのターゲットビットを持ちます。2 つの量子ビットが両方とも $|1\rangle$ 状態のときのみ、ターゲットビットに $\pi$ の位相（Z 操作）を導入します。

      • $|00\rangle \to |00\rangle$
      • $|01\rangle \to |01\rangle$
      • $|10\rangle \to |10\rangle$
      • $|11\rangle \to -|11\rangle$

    • 行列表示：

      CZ=(100001000010000−1)CZ = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

    • 重要性： CZ ゲートもエンタングルメントを生成でき、特定の物理実装では CNOT ゲートよりも実現が容易な場合があります。CNOT ゲートと CZ ゲートは、単ビットゲートの組み合わせによって相互に変換できます。

  3. SWAP ゲート

    • 作用： 2 つの量子ビットの状態を交換します。

      • $|00\rangle \to |00\rangle$
      • $|01\rangle \to |10\rangle$
      • $|10\rangle \to |01\rangle$
      • $|11\rangle \to |11\rangle$

    • 行列表示：

      SWAP=(1000001001000001)SWAP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

    • 重要性： 物理ハードウェアでは、量子ビット間は通常近接接続のみで直接操作できるため、SWAP ゲートは離れた量子ビットを「移動」させて相互作用可能な位置にする際に非常に便利です。これは 3 つの CNOT ゲートのシーケンスで実現できます。

  4. トフォリ (CCNOT / CCX) ゲート

    • 作用： 3 量子ビットゲートで、2 つの制御ビットと 1 つのターゲットビットを持ちます。2 つの制御ビットが両方とも $|1\rangle$ 状態のときのみ、ターゲットビットに NOT 操作を実行します。
    • 重要性： トフォリゲートは古典的な汎用論理ゲートであり、任意の古典的なブール関数を構築できます。量子計算において、トフォリゲートはハダマードゲートと共に汎用量子ゲートセットを構成し、任意の量子アルゴリズムを近似実現するために使用されます。

三、汎用量子ゲートセット (Universal Quantum Gate Sets)#

古典計算と同様に、いくつかの「汎用」量子ゲートセットが存在し、これは任意の複雑な量子アルゴリズムがこれらの基本ゲートの有限のシーケンスによって近似実現できることを意味します。一般的な汎用量子ゲートセットには以下が含まれます：

  • {H, CNOT, Rz($\theta$)}：ハダマードゲート、制御非ゲート、および任意の Z 軸回転ゲート。
  • {H, CNOT, T}：ハダマードゲート、制御非ゲート、および T ゲート。T ゲートは $R_z (\pi/4)$ の特別な形式です。
  • {トフォリ，ハダマード}：トフォリゲートとハダマードゲート。

四、ゲートの物理実装#

実際の量子計算実験では、ゲート操作は量子ビットの物理的特性を精密に制御することによって実現されます。例えば：

  • イオントラップシステム：レーザーパルスを使用して電磁場に囚われたイオンの電子エネルギーレベルを精密に操作することで量子ゲートを実現します。
  • 超伝導量子ビット：マイクロ波パルスを使用して超伝導回路内の量子ビットのエネルギー状態を操作します。
  • 光子システム：光子の偏光、周波数、または経路などの特性を操作することで量子ゲートを実現します。

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元のリンクは https://blog.kanes.top/posts/default/QubitGates です。

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